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cours d'algèbre linéaire Raphael Danchin 1 MI





Cours dalgébre linéaire  MIAS1, premier semestre

1 Les nombres complexes 9
1.1 Construction des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2 D ́efinition d’une loi ⊕ dans R
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.3 D ́efinition d’une loi ∗ dans R
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.4 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Propri ́et ́es de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1 Propri ́et ́es alg ́ebriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2 Repr ́esentation polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.3 Formules de trigonom ́etrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.4 Racines n-i`eme de l’unit ́e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 R ́esolution d’ ́equations du second degr ́e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.1 Racine carr ́ee d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.2 R ́esolution d’ ́equations du second degr ́e dans le cas g ́en ́eral . . . . . . . . 20
2 Syst`emes lin ́eaires 21
2.1 Quelques exemples  ́el ́ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 D ́efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Matrice associ ́ee a` un syst`eme lin ́eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 R ́esolution des syst`emes  ́echelonn ́es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.1 Syst`emes triangulaires a` diagonale non nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.2 Syst`emes  ́echelonn ́es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5 M ́ethode du pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6 Structure de l’ensemble des solutions d’un syst`eme lin ́eaire . . . . . . . . . . . . . 29
2.6.1 Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.6.2 Cas des syst`emes homog`enes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.6.3 Cas g ́en ́eral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 Familles de vecteurs 33
3.1 Vecteurs de Kn

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Familles de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.1 Combinaisons lin ́eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.2 Familles g ́en ́eratrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2.3 Familles libres et familles li ́ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.4 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 Rang et dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.1 Dimension d’un sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.2 Rang d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3

4 TABLE DES MATIERES `
3.3.3 Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.4 Calcul pratique du rang d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . 43
4 D ́eterminants 45
4.1 D ́efinition du d ́eterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 Propri ́et ́es  ́el ́ementaires du d ́eterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3 Calcul du d ́eterminant par pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.4 D ́eveloppement de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.5 Le d ́eterminant et le rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.6 R ́esolution d’un syst`eme lin ́eaire par la m ́ethode de Cramer . . . . . . . . . . . . 57
5 Polynˆomes 59
5.1 L’ensemble des polynˆomes a` une ind ́etermin ́ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.1.1 D ́efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.1.2 Op ́erations sur K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.1.3 Propri ́et ́es alg ́ebriques de K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.2 Division des polynˆomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.3 PGCD et PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.3.1 PGCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.3.2 L’algorithme d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.3.3 PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.3.4 Polynˆomes irr ́eductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.4 Fonctions polynˆomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.4.1 D ́efinition des fonctions polynˆomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.4.2 Racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.4.3 Polynˆomes d ́eriv ́es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.5 Polynˆomes scind ́es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.5.1 Le th ́eor`eme fondamental de l’alg`ebre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.5.2 Polynˆomes irr ́eductibles de C[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.5.3 Polynˆomes irr ́eductibles de R[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74



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